통계학 기초 4주차

회귀(Regression)

 

4.1 단순선형회귀

* 단순선형회귀란 무엇인가?

하나의 독립변수(X)와 하나의 종속변수(Y) 간의 관계를 직선으로 모델링하는 방법

 

* 회귀식

Y = β0 + β1X, 여기서 β0는 절편, β1는 기울기

 

* 특징

독립변수의 변화에 따라 종속변수가 어떻게 변화하는지 설명하고 예측데이터가 직선적 경향을 따를 때 사용한다. 간단하고 해석이 용이하다.데이터가 선형적이지 않을 경우 정확하지 않다.

 

* 사용하는 상황- 하나의 독립변수와 종속변수와의 관계를 분석 및 예측

 

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.linear_model import LinearRegression   # 머신러닝
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score

# 예시 데이터 생성
np.random.seed(0)
X = 2 * np.random.rand(100, 1)
y = 4 + 3 * X + np.random.randn(100, 1)

# 데이터 분할 (머신러닝 개념)
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 단순선형회귀 모델 생성 및 훈련
model = LinearRegression()
model.fit(X_train, y_train)

# 예측
y_pred = model.predict(X_test)

# 회귀 계수 및 절편 출력
print("회귀 계수:", model.coef_)
print("절편:", model.intercept_)

# 모델 평가
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
r2 = r2_score(y_test, y_pred)
print("평균 제곱 오차(MSE):", mse)
print("결정 계수(R2):", r2)

# 시각화
plt.scatter(X, y, color='blue')
plt.plot(X_test, y_pred, color='red', linewidth=2)
plt.title('linear regeression')
plt.xlabel('X : cost')
plt.ylabel('Y : sales')
plt.show()

 

4.2 다중선형회귀

* 다중선형회귀란?

두 개 이상의 독립변수와 하나의 종속변수 간의 관계를 모델링

변수 두 개와 공간상으로 그려보면 선형인게 보인다.

 

* 회귀식

Y = β0 + β1X1 + β2X2 + ... + βnXn

 

* 특징

여러 독립변수의 변화를 고려하여 종속변수를 설명하고 예측종속변수에 영향을 미치는 여러 독립변수가 있을 때 사용한다. 여러 변수의 영향을 동시에 분석할 수 있다.변수들 간의 다중공선성 문제가 발생할 수 있다.

 

* 다중공선성다중공선성(Multicollinearity)은 회귀분석에서 독립변수들 간에 높은 상관관계가 있는 경우회귀분석 모델의 성능과 해석에 여러가지 문제를 일으킬 수 있다.

- 독립변수들이 서로 강하게 상관되어 있으면 각 변수의 개별적인 효과를 분리해내기 어려워져 회귀의 해석을 어렵게 만든다.

- 다중공선성으로 인해 실제로 중요한 변수가 통계적으로 유의하지 않게 나타날 수 있다.

 

간단한 방법으로는 상관계수를 계산하여 상관계수가 높은 변수들이 있는지 확인할 수 있다.정확한 방법으로는 분산 팽창 계수 VIF 를 계산하여 10이 높은지 확인하는 방법으로 판단할 수 있다.

 

높은 계수를 가진 변수 중 하나를 제거하거나 주성분 분석과 같은 변수들을 효과적으로 줄이는 차원분석방법을 적용하여 해결할 수 있다.

 

* 사용하는 상황- 두 개 이상의 독립변수와 종속변수와의 관계를 분석 및 예측

 

# 예시 데이터 생성
data = {'TV': np.random.rand(100) * 100,
        'Radio': np.random.rand(100) * 50,
        'Newspaper': np.random.rand(100) * 30,
        'Sales': np.random.rand(100) * 100}
df = pd.DataFrame(data)

# 독립 변수(X)와 종속 변수(Y) 설정
X = df[['TV', 'Radio', 'Newspaper']]
y = df['Sales']

# 데이터 분할
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2, random_state=42)

# 다중선형회귀 모델 생성 및 훈련
model = LinearRegression()
model.fit(X_train, y_train)

# 예측
y_pred = model.predict(X_test)

# 회귀 계수 및 절편 출력
print("회귀 계수:", model.coef_)
print("절편:", model.intercept_)

# 모델 평가
mse = mean_squared_error(y_test, y_pred)
r2 = r2_score(y_test, y_pred)
print("평균 제곱 오차(MSE):", mse)
print("결정 계수(R2):", r2)

 

4.3 범주형 변수

 

* 회귀에서의 범주형 변수

수치형 데이터가 아닌 주로 문자형 데이터로 이루어져 있지 않은 변수가 범주형 변수

- 예를 들어 성별, 지역 등. 더미 변수로 변환하여 회귀 분석에 사용한다.

- 순서가 있는 범주형 변수 : 옷의 사이즈, 수능 등급과 같이 범주형 변수라도 순서가 있는 변수에 해당한다.

   이런 경우 각 문자를 임의로 숫자로 변환해도 문제가 없다.

- 순서가 없는 범주형 변수 : 성별, 지역과 같이 순서가 없는 변수에 해당한다.

   2개 밖에 없는 경우 임의로 숫자로 바로 변환해도 문제가 없지만, 3개 이상인 경우에는 무조건 원-핫 인코딩(하나만 1이고 나머지는 0인        

   벡터) 변환을 해주어야 한다. -> Pandas의 get_dummies를 활용하여 쉽게 구현 가능

  ex) 부산 = [1,0,0,0], 대전 = [0,1,0,0], 대구 = [0,0,1,0], 광주 = [0,0,0,1]

 

* 사용하는 상황

- 범주형 변수를 찾고 더미 변수로 변환한 후 회귀 분석 수행

 

# 예시 데이터 생성
data = {'Gender': ['Male', 'Female', 'Female', 'Male', 'Male'],
        'Experience': [5, 7, 10, 3, 8],
        'Salary': [50, 60, 65, 40, 55]}
df = pd.DataFrame(data)

# 범주형 변수 더미 변수로 변환 (한 개를 빼는 이유는 다중공선성 약간 해결, 실용적)
df = pd.get_dummies(df, drop_first=True)

# 독립 변수(X)와 종속 변수(Y) 설정
X = df[['Experience', 'Gender_Male']]
y = df['Salary']

# 단순선형회귀 모델 생성 및 훈련
model = LinearRegression()
model.fit(X, y)

# 예측
y_pred = model.predict(X)

# 회귀 계수 및 절편 출력
print("회귀 계수:", model.coef_)
print("절편:", model.intercept_)

# 모델 평가
mse = mean_squared_error(y, y_pred)
r2 = r2_score(y, y_pred)
print("평균 제곱 오차(MSE):", mse)
print("결정 계수(R2):", r2)

 

4.4 다항회귀, 스플라인 회귀

 

* 다항회귀

독립변수와 종속변수 간의 관계가 선형이 아닐때 사용. 독립변수의 다항식을 사용하여 종속변수를 예측

데이터가 곡선적 경향을 따를 때 사용한다.

비선형 관계를 모델링할 수 있다. 고차다항식의 경우 과적합(overfitting) 위험이 있다.

* 스플라인 회귀

독립변수 구간별로 다른 회귀식을 적용하여 복잡한 관계를 모델링

구간마다 다른 다항식을 사용하여 전체적으로 매끄러운 곡선 생성

데이터가 국부적으로 다른 패턴을 보일 때 사용한다.

복잡한 비선형 관계를 유연하게 모델링할 수 있다. 적절한 매듭점(knots)의 선택이 중요하다.

* 다항회귀를 사용하는 상황

- 독립변수와 종속변수의 관계가 비선형 관계일때 사용

 

from sklearn.preprocessing import PolynomialFeatures

# 예시 데이터 생성
np.random.seed(0)
X = 2 - 3 * np.random.normal(0, 1, 100)
y = X - 2 * (X ** 2) + np.random.normal(-3, 3, 100)
X = X[:, np.newaxis]

# 다항 회귀 (2차)
polynomial_features = PolynomialFeatures(degree=2)
X_poly = polynomial_features.fit_transform(X)

model = LinearRegression()
model.fit(X_poly, y)
y_poly_pred = model.predict(X_poly)

# 모델 평가
mse = mean_squared_error(y, y_poly_pred)
r2 = r2_score(y, y_poly_pred)
print("평균 제곱 오차(MSE):", mse)
print("결정 계수(R2):", r2)

# 시각화
plt.scatter(X, y, s=10)
# 정렬된 X 값에 따른 y 값 예측
sorted_zip = sorted(zip(X, y_poly_pred))
X, y_poly_pred = zip(*sorted_zip)
plt.plot(X, y_poly_pred, color='m')
plt.title('polynomial regerssion')
plt.xlabel('area')
plt.ylabel('price')
plt.show()